Diclib.com
Словарь ChatGPT

Поиск в словаре Индивидуальные решения

Введите слово или словосочетание на любом языке 👆

Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

как употребляется слово
частота употребления
используется оно чаще в устной или письменной речи
варианты перевода слова
примеры употребления (несколько фраз с переводом)
этимология

Что (кто) такое Предельные теоремы - определение

УТВЕРЖДЕНИЕ, ДЛЯ КОТОРОГО СУЩЕСТВУЕТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (ОБЫЧНО В МАТЕМАТИКЕ)

Теоремы

Найдено результатов: 30

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

теории вероятностей , название ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Простейшие из предельных теорем - Бернулли теорема, Лапласа теорема. См. также Больших чисел закон, Ляпунова теорема.

Предельные теоремы

теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории (См. Вероятностей теория), указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т. - теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) - относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m - число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность p_k наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n → ∞ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического

вероятностей p_k (1 ≤ k ≤ n):

(см. Больших чисел закон). Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k-м испытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то m можно представить в виде суммы

m = X₁ + X₂ +... + X_n,

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих П. т., относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).

Закон больших чисел. Пусть

X₁, X₂,..., X_n,... (*)

- какая-либо последовательность независимых случайных величин, s_n - сумма первых n из них

s_n = X₁ + X₂ +... + X_n,

A_n и B²_n - соответственно Математическое ожидание

A_n= Е s_n = Е X₁ + E X₂ +... + EX_n,

и Дисперсия

B²_n= D s_n -= D X₁ +D X₂ +... + DX_n,

суммы s_n. Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом ε > 0 вероятность неравенства

стремится к нулю при n → ∞.

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины X_n имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины X_n должны иметь конечные математические ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых z₁ и z₂ вероятность неравенства

z₁B_n < s_n- A_n < z₂B_n

имеет пределом при n → ∞ - величину

(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной предельной теоремы были указаны Чебышевым (1887), но и в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть

c_k = E|X_k - ЕХ_к|^2+δ, δ > 0

C_n = c₁ + c₂ +... + c_n.

Если отношение

стремится к нулю при n → ∞, то к последовательности (*) применима центральная предельная теорема. Окончательное решение вопроса об условиях приложимости центральной предельной теоремы получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (1935).

Из др. направлений работ в области П. т. можно отметить следующие.

1) Начатые Марковым и продолженные Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы к суммам зависимых величин.

2) Даже в случае последовательности одинаково распределённых случайных величин можно указать простые примеры, когда суммы имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идёт о невырожденных распределениях, т. е. о распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке). В работах советских математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, французских математиков П. Леви, В. Дёблина и др. полностью изучены как класс возможных предельных распределении для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению.

3) Значительное внимание уделяется т. н. локальным П. т. Пусть, например, величины X_n принимают лишь целые значения. Тогда суммы s_n принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей P_n(m) того, что s_n = m (где m - целое). Простейшим примером локальной П. т. может служить локальная теорема Лапласа (см. Лапласа теорема).

4) П. т. в их классической постановке описывают поведение отдельной суммы s_n с возрастанием номера n. Достаточно общие П. т. для вероятностей событий, зависящих сразу от нескольких сумм, получены впервые Колмогоровым (1931). Так, например, из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства

имеет пределом величину

(z > 0)

5) Перечисленные выше П, т. относятся к суммам случайных величин. Примером П. т. иного рода могут служить П. т. для членов вариационного ряда (См. Вариационный ряд). Эти П. т. подробно изучены советскими математиками Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирновым.

6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., например, Повторного логарифма закон).

Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. - Л., 1949; Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973.

Ю. В. Прохоров.

теорема

ж.
Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).

ТЕОРЕМА

В математике: утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства.

Теорема

(греч. theorema, от theoréo - рассматриваю, исследую)

предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи Доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Т., доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Т.; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют Аксиомами.

В формулировке Т. различают условие и заключение. Например, 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба других - острые; в каждом из этих примеров после слова "если" стоит условие Т., а после слова "то" - заключение. В такой форме можно высказать каждую Т. Например, Т.: "всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой", можно высказать так: "если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой".

Для каждой Т., высказанной в форме "если... то...". можно высказать ей обратную теорему (См. Обратная теорема), в которой условие является заключением, а заключение - условием. Прямая и обратная Т. взаимно обратны. Не всякая обратная Т. оказывается верной; так, для примера 1) обратная Т. верна, а для примера 2) - очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Т. означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).

Если заменить условие и заключение Т. их отрицаниями, то получится Т., называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема), она равносильна обратной Т. Точно так же и Т., обратная противоположной, равносильна исходной Т. (прямой). Поэтому доказательство прямой Т. можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Т. вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного (См. Доказательство от противного), или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств.

теорема

ТЕОР'ЕМА, теоремы, ·жен. (от ·греч. theorema, ·букв. зрелище) (научн.). Положение, справедливость которого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова теорема.

| Положение, которое может быть выведено из основных положений логики (филос.).

ТЕОРЕМА

(греч. theorema, от theoreo - рассматриваю), в математике - предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других - острые, после слова "если" стоит условие, а после "то" - заключение.

ТЕОРЕМА

ы, ж.

В математике: такое положение которое нуждается в доказательстве и может быть доказано.||Ср. АКСИОМА, ЛЕММА, ПОСТУЛАТ.

Теорема

Теоре́ма — (, от — рассуждаю) математическое утверждение, истинность которого установлена путём доказательства. Доказательства теорем опираются на ранее доказанные теоремы и общепризнанные утверждения (аксиомы).

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема

Предельный цикл

Замкнутая траектория; Предельные циклы

системы дифференциальный уравнений 2-го порядка

- замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t → +∞ (устойчивый П. ц.), или при t → -∞ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при t → +∞, а остальные - при t → -∞ (полуустойчивый П. ц.). Например, система

(r и φ - полярные координаты), общее решение которой r = 1 - (1 - r₀)e^-t, φ = φ₀ + t (где r₀ ≥ 0), имеет устойчивый П. ц. r = 1 (см. рис.). Понятие П. ц. переносится также на систему n-го порядка. С механической точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому периодическому режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.

Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Предельный цикл.

Википедия

Теорема

Теоре́ма — (др.-греч. Θεώρημα, от др.-греч. Θεώρηώ — рассуждаю) математическое утверждение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Доказательства теорем опираются на ранее доказанные теоремы и общепризнанные утверждения (аксиомы).

Прокл Диадох в «Комментарии к I книге Начал Евклида» писал, что Зенодот отличает теорему от задачи: «теорема исследует, каков отличительный признак соответствующей ей материи, а задача — каково некое сущее».

Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведенного в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально дедуктивной, в отличие от понятия научного закона, который является экспериментальным.

Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.

Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и четко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является Великая теорема Ферма.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема

Что такое ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ - определение